Posso escolher qualquer nome para o meu domínio?

Não. Terá que estar disponível e a escolha do nome do domínio implica, em algumas hierarquias ao cumprimento das respectivas regras previstas (como exemplo, aplicáveis a .PT).
Regras ao .PT

        .PT - pessoas colectivas, empresários em nome individual, profissionais liberais, entidades públicas e quaisquer pessoas/entidades, desde que titulares de pedido/registo de marca;
        .NET.PT - limitado a prestadores de serviços de comunicações electrónicas, devidamente registados no Instituto das Comunicações de Portugal;
        .GOV.PT - limitado a entidades que integrem a estrutura do Governo da República Portuguesa;
        .ORG.PT - limitado a organizações sem fins lucrativos;
        .EDU.PT - limitado a estabelecimentos de ensino públicos e titulares de estabelecimentos de ensino privados ou cooperativos;
        .INT.PT - limitado a organizações internacionais e representações diplomáticas devidamente registadas no Registo Nacional de Pessoas Colectivas;
        .PUBL.PT - não há limitações quanto aos requerentes, desde que titulares de uma publicação periódica;
        .COM.PT - não há limitações quanto aos titulares;
        .NOME.PT - limitado a pessoas singulares portadoras de bilhete de identidade emitido por Arquivo de Identificação português, bem como todos os residentes em Portugal, portadores de título de residência válido.